Introduction
Par la transformation de Laplace, un système d’équations différentielles dans le domaine temporel est transformé en un système d’équations algébriques dans le domaine symbolique.
Et il est plus facile de résoudre un système d’équations algébriques que de résoudre un système d’équations différentielles.
Définition
Soit une fonction du temps f(t) dérivable et intégrable autant de fois que nécessaire, à qui on fait correspondre une fonction F(p) définie par
La fonction f(t) est une fonction définie dans le domaine temporel.
La fonction F(p) est une fonction définie dans un domaine appelé domaine symbolique, et est appelée Transformée de Laplace de la fonction f(t).
Conséquence
Une fois une origine des temps définie, on ne s’intéresse qu’aux valeurs de f(t) pour les instants positifs. Ce qui est décrit par f(t) pour les instants antérieurs n’est pas pris en compte.
Application pratique
Il ne sera jamais demandé de calculer l’intégrale définie ci-dessus. La correspondance entre f(t) et F(P) est directe dans les deux sens et se fait grâce à des tables appelées «Tables de transformées».
D’où vient la transformation de Laplace ?
Théorèmes fondamentaux
Unicité
À une fonction f(t) correspond une fonction F(p) unique.
À une fonction F(p) correspond une fonction f(t) unique définie pour les instants t positifs.
Linéarité
Si f(t)=a.h(t)+b.g(t), avec a et b deux constantes, alors F(p)=a.H(p)+b.G(p).
Limites
Pour la valeur initiale :
Lim t->0 f(t) = Lim p->∞ p.F(p)
Pour la valeur finale :
Lim t->∞ f(t) = Lim p->0 p.F(p)
Dérivation
Soit une fonction f(t) à qui on fait correspondre sa transformée dans le domaine symbolique F(p).
f(t) —> F(p)
df(t)/dt —> p F(p) -f(0+)
d2f(t)/dt2 —> p ( p F(p) – f(0+)) – f'(0+)
De plus, si f(t) = dg(t)/dt, alors on obtient
G(p) = F(p)/p + g(0+)/p
Soit une fonction f(t) dont toutes les conditions initiales sont nulles. Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique.
Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.
Retard
Soient une fonction f(t) dont la transformée est F(p) et une fonction g(t) définie par g(t) = f(t – T),
alors la transformée de g(t) est G(p) = e-Tp F(p).
Tables de transformées
En pratique, une seule transformée est à connaître
t → f(t) | p → F(p) |
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