Théorèmes de l’énergie cinétique – Démonstration 2

Convention de notation

Dans cette fiche, les torseurs sont en grandes lettres cursives ou italiques,
les vecteurs sont en gras dans le texte, avec des flèches sur les images.

Cas d’un système matériel formé de deux solides indéformables

Rappel du théorème

Pour un système matériel Σ formé de deux solides indéformables 1 et 2,
la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique galiléenne
est égale à la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures qui lui sont appliquées,
augmentée de la puissance développée au niveau des efforts entre 1 et 2.

Théorème

avec

Théorème

Démonstration

Soit un système matériel Σ composé de deux solides indéformables 1 et 2 disjoints.
Ce système vérifie Σ = 1 ∪ 2 avec 1 ∩ 2 = ∅. La définition de l’énergie cinétique permet d’affirmer

Equation

On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique à chacun des solides 1 et 2, et on obtient

Equation

La somme terme à terme de ces deux dernières équations permet d’obtenir

Equation

La somme des deux premiers termes est immédiate, la somme des deux derniers termes mérite d’être explicitée

Equation

On obtient bien ainsi

Equation