Théorèmes de l’énergie cinétique – Démonstration 1

Convention de notation

Dans cette fiche, les torseurs sont en grandes lettres cursives ou italiques,
les vecteurs sont en gras dans le texte, avec des flèches sur les images.

Le point courant du solide est noté P, un point quelconque, mais fixé une fois choisi, est noté Q.

Cas d’un solide indéformable

Rappel du théorème

Pour un solide indéformable unique S,
la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique galiléenne
est égale à la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures qui lui sont appliquées.

Démonstration

Soit un solide indéformable S en mouvement dans un référentiel galiléen. Le principe fondamental de la dynamique permet de poser l’équivalence

Sur cette dernière équation, on peut faire membre à membre le comoment à gauche avec le torseur cinématique V(S/Rg). Le second terme est immédiatement V(S/Rg)⊗F(/S ->S) et il s’agit alors uniquement d’évaluer le terme V(S/Rg)⊗D(S/Rg).

Pour cela, on pose les éléments de réduction de ces deux torseurs au point quelconque Q, soit

  • Le premier terme du comoment est évalué en utilisant la linéarité de l’intégrale et s’écrit de suite sous la forme d’un produit mixte
  • Le second terme du comoment se calcule en utilisant tout d’abord la linéarité de l’intégrale, puis la formule de changement de point V(Q,S/Rg) = V(P,S/Rg) + Ω(S/Rg) Λ PQ, et enfin les propriétes du produit mixte pour aboutir à

La somme de ces deux dernières équations permet de proposer

La définition d’un vecteur accélération permet de dire que

Le fait que le solide S soit un système à masse conservative et la définition de l’énergie cinétique pour un système matériel en mouvement permet de conclure

On en déduit l’expression du théorème de l’énergie cinétique dans le cas d’un solide indéformable