Théorie des mécanismes

La théorie des mécanismes s’appuie sur l’étude des chaînes fermées de solides et a pour buts :

  • L’analyse de la structure d’un mécanisme, afin d’émettre un avis sur la pertinence des solutions adoptées pour remplir la fonction mécanique souhaitée.
  • La détermination de la(les) loi(s) entrée-sortie.
  • L’analyse de la transmission d’énergie en vue du dimensionnement des organes mécaniques.

Acquis antérieurs

Approche cinématique

Soit le graphe des liaisons connu pour un mécanisme donné, ou le graphe proposé pour un mécanisme à concevoir.

  • Soit Np le nombre de sommets du graphe (le nombre de pièces)
  • Soit NL le nombre d’arcs du graphe (le nombre de liaisons)

Nombre de cycles

La théorie des mécanismes s’applique à l’études des chaînes fermées de solides. Le premier souci est donc de les dénombrer.
On appelle nombre de cycles le nombre de chaînes fermées indépendantes nécessaires pour décrire un graphe.
Ce nombre est noté μ et est calculé par la formule

μ = 1 + NL – Np

Soit un mécanisme dont le graphe des liaisons est donné ci-contre :

NL = 6
Np = 5

donc      μ = 2

Graphe
Ces deux chaînes fermées indépendantes sont par exemple :

1-2-5-1
2-3-4-5-2

Il existe une troisième chaîne fermée, 1-2-3-4-5-1, mais qui se déduit des deux précédentes. (cf. § suivant)

Graphe

Détermination du nombre d’équations

Une fois les chaînes fermées indépendantes dénombrées, la résolution du problème se poursuit en appliquant la loi de composition des mouvements sur chacune de ces chaînes, en partant de la constatation triviale que :

Equation torsorielle de fermeture

Il y a donc autant d’équations torsorielles indépendantes que de chaînes fermées indépendantes.
Soit EC le nombre d’équations scalaires issues de ces équations de fermeture cinématique :

Ec = 6 μ

En reprenant l’exemple précédent, les deux équations torsorielles indépendantes à considérer sont, par exemple
Graphe

Equation
Equation

Ce qui donne 12 équations scalaires…

Remarque : Si l’on somme les deux équations précédentes, on obtient

Equation

Ce qui correspond bien à la description de la troisième chaîne fermée trouvée, 1-2-3-4-5-1

Détermination du nombre d’inconnues

Soit Ic le nombre d’inconnues cinématiques du problème.
Ce nombre se détermine en sommant les degrés de liberté de chacune des NL liaisons.

informationLe nombre d’inconnues dépend de la nature des modèles adoptés pour les liaisons.

Indice de mobilité

Soit à résoudre le système de Ec équations obtenues à Ic inconnues dénombrées. Ce système est un système linéaire homogène, qui peut être écrit sous la forme matricielle suivante

Ecriture matricielle

On définit l’indice de mobilité comme étant le nombre Ic – Ec

informationL’indice de mobilité est un entier relatif.
Il se détermine sans écrire le système d’équations.
Il sert de base à la réflexion menée lors d’une approche globale.

Degré de mobilité d’un mécanisme

La résolution du système d’équations précédent prend en compte son rang, noté rC.

Dans le cas où rc = Ic, la seule solution est la nullité de toutes les inconnues, donc de tous les paramètres cinématiques. Le mécanisme définit alors une structure rigide, aucun mouvement n’est possible.

Dans le cas contraire, supposons connu le rang du système et les équations disposées ainsi :

Ecriture matricielle

On définit le degré de mobilité m = Ic – rc

informationLe nombre définissant le degré de mobilité est un entier naturel, donc positif ou nul.
m ≥ 0 , en effet rc ≤ min(Ic,Ec)

Le degré de mobilité m représente le nombre d’inconnues qu’il faut passer dans le second membre.
Toutes les autres inconnues du problème pourront être exprimées en fonction de ces m paramètres.

informationDans le cas d’un mécanisme, ces m inconnues ne sont pas choisies au hasard.

Elles correspondent au moins aux mouvements d’entrée du mécanisme. C’est ainsi que l’on obtient la loi entrée-sortie du mécanisme.

Mobilité utile et mobilité interne

Le degré de mobilité d’un mécanisme définit le nombre de mouvements indépendants qu’il est possible de fixer arbitrairement. Ces mouvements comprennent bien évidemment le(s) mouvement(s) d’entrée.

  • On appelle mobilité utile, notée mu, le nombre de mouvements indépendants faisant intervenir au moins un des paramètres d’entrée-sortie du mécanisme.
  • On appelle mobilité interne, notée mi, le nombre de mouvements indépendants ne faisant intervenir aucun des paramètres d’entrée-sortie.

On a bien évidemment

m = mu + mi

ATTENTION : Mobilités utiles et internes relèvent de l’interprétation technologique que l’on donne aux différents mouvements possibles trouvés au sein du mécanisme.
La théorie des mécanismes seule ne permet pas de faire de distinction !

Degré de statisme d’un mécanisme

Soit le nombre h = Ec – rc

Ce nombre est appelé degré de statisme du mécanisme.

informationLe nombre définissant le degré de statisme est un entier naturel
h ≥ 0 , en effet rc ≤ min(Ic,Ec)

Il exprime le nombre d’équations ne servant pas à la résolution. (le plus souvent de la forme 0 = 0)
Il définit le nombre de degrés de liberté absents pour garantir un montage et un fonctionnement sans contrainte du mécanisme.

Finalement, la forme du système d’équation peut être présentée de la manière suivante

Écriture matricielle

Approche globale

Sachant que

m = Ic – rc
h = Ec – rc

On en déduit

m – h = Ic – Ec

L’indice de mobilité d’un mécanisme est égal à la différence entre les degrés de mobilité et de statisme.
L’utilisation de cette relation fait l’objet d’un chapitre particulier.

Approche dynamique

Soit le graphe des liaisons connu pour un mécanisme donné, ou le graphe proposé pour un mécanisme à concevoir.

  • Soit Np le nombre de sommets du graphe (le nombre de pièces)
  • Soit NL le nombre d’arcs du graphe (le nombre de liaisons)

Détermination du nombre d’équations

Une étude dynamique systématique est menée en étudiant le mouvement ou l’équilibre de chacune des pièces du mécanisme.

Le mouvement ou l’équilibre étant nécessairement relatif à une de ces pièces, prise comme référentiel, on dénombre alors Np-1 solides à étudier.

informationEn général, le bâti est considéré comme un référentiel galiléen satisfaisant, et tous les mouvements à considérer pour cette recherche exhaustive sont relatifs à celui ci.

Soit Es le nombre d’équations scalaires obtenues après une étude exhaustive :

Es = 6 (Np-1)

Détermination du nombre d’inconnues

Soit Is le nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons du problème.
Ce nombre se détermine en sommant les nombres de paramètres d’actions mécaniques transmissibles par chacune des NL liaisons.

informationLe nombre d’inconnues dépend de la nature des modèles adoptés pour les liaisons.

Avec l’hypothèse de liaisons parfaites, il y a dualité entre le torseur des actions mécaniques transmissibles par une liaison et son torseur cinématique :

Comoment de deux torseurs

Pour une liaison donnée à k inconnues cinématiques, on a donc 6-k inconnues d’actions mécaniques transmissibles.

Indice de mobilité

Soit à résoudre le système de Es équations obtenues à Is inconnues dénombrées. Ce système est un système linéaire avec second membre, qui peut être écrit sous la forme matricielle suivante :

Ecriture matricielle

Le second membre comporte :

  • les composantes d’actions mécaniques extérieures autre que les inconnues de liaison ;
    -> Poids – Couple ou effort, moteur ou résistant – actions externes ou internes dues à des éléments déformables – …
  • les composantes dynamiques.
    -> cf. cours de dynamique

On constate les égalités suivantes :

Ic-Ec = (6NL-Ic)-6(NL-Np+1) = 6(Np-1)-Is = Es-Is

On définit ainsi l’indice de mobilité comme étant également le nombre Es – Is

Isostatisme – Hyperstatisme

La résolution du système d’équations précédent prend en compte son rang, noté rs.

Dans le cas où rs = Is, la seule solution du système homogène associé est la nullité de toutes les inconnues, donc de tous les paramètres d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons. Cette constatation induit les deux définitions suivantes :

  • Un mécanisme est dit isostatique si, en l’absence d’actions mécaniques extérieures, toutes les inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles.
  • Un mécanisme est dit hyperstatique si, en l’absence d’actions mécaniques extérieures, il existe des inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons non nulles, dans les faits indéterminées.

Dans le cas contraire, supposons connu le rang du système et les équations disposées ainsi :

Ecriture matricielle

On définit le degré de statisme h par

h = Is – rs

informationLe nombre définissant le degré de statisme est un entier naturel,
h ≥ 0 , en effet rs ≤ min(Is,Es)

Le degré de statisme h représente le nombre d’inconnues qu’il faut passer dans le second membre.
Ce sont des inconnues d’actions mécaniques de liaison ne pouvant pas être déterminées par la seule théorie des mécanismes.

informationUn mécanisme hyperstatique est plus rigide au sens de la résistance des matériaux. Quand cela est souhaité, les contraintes induites ont un coût, au sens financier du terme.

L’hyperstatisme s’achète, et les critères d’évaluation de la pertinence de ce choix dépassent très largement le cadre de ce cours.

Degré de mobilité d’un mécanisme

Soit le nombre m défini par

m = Es – rs
Ce nombre est appelé degré de mobilité du mécanisme.

informationLe nombre définissant le degré de mobilité est un entier naturel, donc positif ou nul.
m ≥ 0 , en effet rs ≤ min(Is,Es)

Il exprime le nombre d’équations ne servant pas à la détermination des actions mécaniques de liaison, de la forme 0 = 0 pour l’équation homogène associée.
De par la dualité entre les deux approches, on peut formuler la proposition suivante : Là où n’existe aucune composante d’action mécanique transmissible apparaît une possibilité de mouvement.

Finalement, la forme du système d’équation peut être présentée de la manière suivante :

Ecriture matricielle

Statisme – Cinématisme

Il faut reprendre l’histoire de la mécanique pour comprendre l’origine des termes utilisés.
C’est bien évidemment la modélisation des actions mécaniques qui a longtemps causé souci. Le vocabulaire associé aux torseurs est un exemple de cet héritage. (Résultante – Moment – Glisseur – Couple – …). Cette préoccupation se retrouve dans la théorie des mécanismes, où parmi les notions fortes sont l’isostatisme et l’hyperstatisme.

Aujourd’hui, on pourrait parler sans difficulté d’isocinématisme ou d’hypercinématisme lors de l’approche cinématique : pour en savoir plus, consulter par exemple l’excellent ouvrage de Michel Lajoie et Bernard Lodier (cf bibliographie)

Bilan – Ce qu’il faut retenir

Vocabulaire, notation et formulaire

Approche cinématique
Approche dynamique
Nombre de pièces d’un mécanisme
Np
Nombre de liaisons d’un mécanisme
NL
Nombre de cyclesμ = NL – Np + 1
Nombre d’équationsEc = 6 μEs = 6 (Np-1)
Nombre d’inconnuesIcIs
Indice de mobilitéIc – EcEs – Is
Degré de mobilitém = Ic – rcm = Es – rs
Degré de statismeh = Ec – rch = Is – rs
Approche globaleIc – Ec = m – hEs – Is = m – h

Quelle approche privilégier ?

Toute étude commence par une approche globale. En effet, il est inutile de se lancer dans des calculs qui deviennent très rapidement complexes pour déboucher sur des conclusions triviales. Par ailleurs, il n’est pas inutile d’avoir une idée préliminaire de ce vers quoi on tend.

Pour une recherche des degrés de mobilité et de statisme, l’approche cinématique est à privilégier, et ce pour deux raisons :

  • Les grandeurs manipulées sont observables et mesurables.
  • Le nombre d’équations à manipuler est en général bien inférieur à celui obtenu par l’approche dynamique.

Pour une recherche de la loi entrée-sortie d’un point de vue dynamique, l’approche énergétique (cf. cours de dynamique) est à privilégier. Le théorème de l’énergie cinétique donne un résultat immédiat.

L’approche dynamique enfin est à mener lorsque l’on cherche à dimensionner les composants d’un mécanisme. Il est alors seulement nécessaire de connaître les torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons.

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