Title: 5) Dynamique et énergétique des systèmes de solides indéformables

Q: Qu'est ce que la cinétique ?
A: La cinétique est l’étude de la répartition des masses.

Q: Qu'est ce que la dynamique ?
A: La dynamique est l’étude des mouvements et de leurs causes.

Q: Qu'est ce que l'inertie ?
A: L'inertie est la résistance qu'un corps oppose au changement de son mouvement.

Q: Qu'est ce que la masse ?
A: La masse est l'inertie en translation.

Donner la relation du barycentre pour des systèmes disjoints ?

Q: Qu'est ce que le moment d'inertie ?
A: Le moment d’inertie est l’inertie en rotation.

Q: Dans la mécanique du point, donner l'énergie cinétique dans un mouvement de translation et dans un mouvement de rotation.
A: Pour un mouvement de translation :
Pour un mouvement de rotation :

Donner le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ et son unité.

Donner le moment
d’inertie d’un cylindre de révolution de centre G rayon R axe (𝐺,𝑥)
et de hauteur h.

Donner le Théorème de Huygens.

Q: Où le moment d’inertie par rapport à un axe de direction 𝑢 est-il minimum ?
A: Quand l’axe passe par G.

En math, donner la matrice de l'opérateur

En math, qu'est-ce que le produit tensoriel ?

Donner la matrice d'inertie (ou matrice de l'opérateur d'inertie) en A de S en fonction de x,y,z.

Q: Donner les noms et les unités des composantes de la matrice d'inertie.
A: A, B, C sont les moments d’inertie en [𝒌𝒈.𝒎²]. Ils traduisent la répartition de la masse autour des différents axes.
D, E, F sont les produits d’inertie en [𝒌𝒈.𝒎²]. Ils traduisent une asymétrie dans la répartition de la masse. Ils créent des effets de balourd.

Q: Une matrice symétrique réelle est elle toujours diagonalisable ?
A: Oui.

Q: Qu'appelle t-on les axes principaux d’inertie ?
A: Lorsque l'on diagonalise la matrice d'inertie :
- les 3 valeurs propres sont appelées les moments d’inertie principaux ;
- ils sont portés par les axes principaux d’inertie.
Lorsque la matrice est diagonalisée dans sa base propre d’inertie, le solide est dynamiquement équilibré. Un mouvement de rotation autour de ces axes propres se fait sans aucune vibration.

Donner le théorème de changement de point de la matrice d'inertie.

Donner l'expression de la matrice d'inertie quand il y a un plan de symétrie (A,x,y).

Donner l'expression de la matrice d'inertie quand il y a 2 plans de symétrie.

Donner l'expression de la matrice d'inertie quand il y a un axe de révolution (A,z).

Q: Donner le torseur cinétique, ses éléments de réduction, leur nom et leur unité.
A: La résultante cinétique, ou quantité de mouvement, ou quantité de vitesse est en [𝑘𝑔.𝑚/𝑠].
Le moment cinétique est en [𝑘𝑔.𝑚²/𝑠].

Q: Donner le torseur dynamique, ses éléments de réduction, leur nom et leur unité.
A: La résultante dynamique, ou quantité d’accélératio, est en [𝑘𝑔.𝑚/𝑠].
Le moment dynamique est en [𝑘𝑔.𝑚²/𝑠].

Q: Que représente la résultante cinétique et le moment cinétique ?
A: La résultante cinétique représente les quantités de mouvements du solide en translation.
Le moment cinétique en A représente les quantités de mouvements du solide en rotation autour de A.

Q: Que représente la résultante dynamique et le moment dynamique ?
A: La résultante dynamique représente les forces nécessaires pour modifier le mouvement de translation du solide.
Le moment dynamique en A représente les moments nécessaires pour modifier le mouvement de rotation autour de A.

Donner la relation pour passer du torseur cinétique au torseur dynamique.

Donner 2 cas particuliers pour lesquels la relation suivante se simplifie.

Q: Comment calcule t-on le torseur dynamique d'un système de solides ?
A: Le torseur dynamique est la somme des torseurs dynamiques de chacun des solides.
Pareil pour le torseur cinétique.

Donner l'arbre de calcul d’un moment dynamique.

Compléter l'arbre suivant :

Donner l'énergie cinétique d’un solide S en mouvement dans un repère R. Préciser les éléments de réduction de ses 2 torseurs.

Donner l'expression de l'énergie cinétique d'un solide S/R pour un mouvement de translation.

Donner l'expression de l'énergie cinétique d'un solide S/R pour un mouvement de rotation.

Comment se calcule l'énergie cinétique pour un système de solides ?

Q: Qu'est ce que la masse équivalente et le moment équivalent ?
A: Le terme 𝑀_𝑒𝑞 est appelé masse équivalente des solides en mouvement ramenée sur l’axe effecteur.
Le terme 𝐽_𝑒𝑞 est appelé moment d’inertie équivalent des solides en mouvement ramené sur l’axe moteur.

On considère l'énergie cinétique suivante :
Donner le moment d'inertie équivalent.

Enoncer le PFD.

Q: Le PFD est-il une égalité ?
A: Oui.
Le PFD est une égalité entre les quantités d’accélération et les actions mécaniques extérieures. C'est une égalité symétrique, n'oublions pas que l'on peut l'écrire dans les 2 sens.

Donner le Théorème de l’équilibre (PFS).

Q: Donner la condition d'équilibrage statique d'un solide.
A: Equilibrage statique :
− Son centre de masse est sur l’axe de rotation.

Q: Donner les conditions d'équilibrage dynamique d'un solide.
A: Equilibrage dynamique :
− Son centre de masse est sur l’axe de rotation.
− L’axe de rotation est un axe principal d’inertie.

Q: Si un solide est équilibré statiquement, est-il équilibré dynamiquement ?
A: Non.

Q: Si un solide est équilibré dynamiquement, est-il équilibré statiquement ?
A: Oui.

Comment note t-on la puissance de l’action mécanique 2→1 dans le mouvement 1/𝑅 ?

Q: Donner l'unité de l'énergie cinétique et de la puissance.
A: L'énergie cinétique est en Joule [J].
La puissance est en Watt [W].

Donner la puissance de l’action mécanique 2→1 dans le mouvement 1/𝑅. Préciser les éléments de réduction de ses 2 torseurs.

Q: Si la puissance 𝑃...>0, on parle d’action [...], sinon d’action [...].
A: motrice; résistante

Donner l'expression de la puissance des interefforts la puissance de l’action mécanique d’un solide 1 sur un solide 2 dans leur mouvement relatif 2/1.

Q: La puissance des interefforts dépend-elle du repère ?
A: Non.

Q: Si une liaison est parfaite alors le mouvement est [...]
A: sans pertes 𝑃_1↔2=0.

Comment définit-on le rendement d'un système ?
Donner la puissance dissipée.

Donner le Théorème de la puissance cinétique pour n solides.

Donner la puissance des interefforts pour n=3.